引言

《双色球头奖概率与被雷劈中的概率哪个高？》
《3 人轮流射击，枪法最差的反而更容易活下来？》
让我们用 Java 来探索 ta 们！

悖论 1：著名的三门问题

规则描述：你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？请问若想获得车，参赛者应该换二号门吗？

论证：分析需求，拆解为如下代码

/**
* <p> 三门问题解决方案 </p>
* @author yuanfeng.wang
* @since 2023/8/29
*/
import java.util.Random;

public class ThreeDoorSolution {
  public static void main(String[] args) {
    // 模拟执行1万次，打印获胜的概率
    threeDoor(10000);
  }
  /**
  * 三门问题逻辑拆解
  * @param numSimulations 总共执行多少轮游戏
  */
  private static void threeDoor(int numSimulations) {
    int switchWins = 0;
    int stayWins = 0;

    Random random = new Random();
    for (int i = 0; i < numSimulations; i++) {
      // 随机确定车所在的门
      int carDoor = random.nextInt(3);

      // 玩家随机选择一扇门
      int playerChoice = random.nextInt(3);

      // 主持人随机打开一扇门：要求该门不是玩家选择的，且必须是羊
      int openedDoor;
      do {
        openedDoor = random.nextInt(3);
      } while (openedDoor == carDoor || openedDoor == playerChoice);

      // 换门后的选择：不能是打开的门，不能是玩家选择的门，则是交换之后的门
      int finalChoice;
      do {
        finalChoice = random.nextInt(3);
      } while (finalChoice == playerChoice || finalChoice == openedDoor);

      // 计算是否换门获胜
      if (finalChoice == carDoor) {
        switchWins++;
      }
      // 计算不换门获胜
      if (playerChoice == carDoor) {
        stayWins++;
      }
    }
    // 输出结果
    System.out.println(\"在 \" + numSimulations + \" 次模拟中：\");
    System.out.println(\"换门获胜的概率：\" + (double) switchWins / numSimulations);
    System.out.println(\"不换门获胜的概率：\" + (double) stayWins / numSimulations);
  }
}
// 模拟运行，打印结果如下
// 在 10000 次模拟中：
// 换门获胜的概率：0.6679
// 不换门获胜的概率：0.3321

结论：三门问题看似一道简单的概率题，几十年来却一直引发巨大争议，持两种不同观点的人基本是五五开；事实上始终选择换门的玩家，获胜的概率 2/3，而保持原方案的胜率只有 1/3

悖论 2：双色球我能中大奖

规则描述：从 1-33 个红色球中随机选出 6 个，再从 1-16 个蓝色球中随机选择 1 个，最终开奖出一注 6+1 组合球，无顺序要求；

• 一等奖：中 6 红 + 1 蓝
• 二等奖：中 6 红
• 三等奖：中 5 红 + 1 蓝
• 四等奖：中 4 红 + 1 蓝，或只中 5 个红
• 五等奖：中 3 红 + 1 蓝，或只中 4 个红
• 六等奖：中 1 蓝

论证：分析玩法，计算一等奖中奖率，从 33 个红球样本中选择 6 个，计算总共的组合数，即数学公式 C (n, m) = n!/((n-m)! * m!)，代入计算 C (33, 6) = 33!/((33-6)! * 6!) = 1107568，再乘以 16，最终得出一等奖获奖概率 1/17721088。

分析规则，以下代码展示了开奖一次，购买 N 注时，打印中奖信息的程序，当代入 N=500 万时，多次执行，可以很轻松打印出一等奖

import java.util.*;
/**
* <p>双色球随机模拟</p>
* @author yuanfeng.wang
* @since 2023/8/29
*/
public class SsqSolution {
  private static Random random = new Random();
  /**
  * 开奖的红球
  */
  private static Set<Integer> winningRedBalls;
  /**
  * 开奖的蓝球
  */
  private static int winningBlueBall;
  // 静态块初始化一组开奖号码
  static {
    // 篮球 01-16
    winningBlueBall = random.nextInt(16) + 1;

    // 红球 01-33生成6个
    winningRedBalls = new HashSet<>();
    while (winningRedBalls.size() < 6) {
      int num = random.nextInt(33) + 1;
      winningRedBalls.add(num);
    }
  }
  public static void main(String[] args) {
    play(500_0000);
  }
  /**
  *
  * @param num 运行一次程序只开一次奖，此参数表示总共购买多少注
  */
  public static void play(int num) {
    System.out.println(\"\\n本期开奖号码：\");
    System.out.println(\"红球：\" + winningRedBalls + \" 篮球：\" + winningBlueBall);
    for (int i = 0; i < num; i++) {
      playOnce();
    }
  }
  private static void playOnce() {
    Set<Integer> userRedBalls = getUserSelectedRedBalls();
    int userBlueBall = getUserSelectedBlueBall();

    int redBallMatch = countMatchingBalls(userRedBalls, winningRedBalls);
    boolean blueBallMatch = (userBlueBall == winningBlueBall);

    if (redBallMatch == 6 && blueBallMatch) {
      System.out.println(\"\\n恭喜你中了一等奖！\");
      System.out.println(\"玩家购买的号码：\");
      System.out.println(\"红球：\" + userRedBalls + \" 蓝球：\" + userBlueBall);
    } else if (redBallMatch == 6) {
      System.out.println(\"\\n恭喜你中了二等奖！\");
    } else if (redBallMatch == 5 && blueBallMatch) {
//      System.out.println(\"\\n恭喜你中了三等奖！\");
    } else if (redBallMatch == 5 || (redBallMatch == 4 && blueBallMatch)) {
//      System.out.println(\"\\n恭喜你中了四等奖！\");
    } else if (redBallMatch == 4 || (redBallMatch == 3 && blueBallMatch)) {
//      System.out.println(\"\\n恭喜你中了五等奖！\");
    } else if (blueBallMatch) {
//      System.out.println(\"\\n恭喜你中了最小奖！\");
    } else {
      //没中奖，不打印记录
    }
  }
  /**
  * 返回玩家选择的6个红球,范围1-33，不重复
  */
  private static Set<Integer> getUserSelectedRedBalls() {
    Set<Integer> userRedBalls = new HashSet<>();
    while (userRedBalls.size() < 6) {
      int num = random.nextInt(33) + 1;
      userRedBalls.add(num);
    }
    return userRedBalls;
  }
  /**
  * 玩家选择的1个蓝球,范围1-16
  */
  private static int getUserSelectedBlueBall() {
    return random.nextInt(16) + 1;
  }
  /**
  * 匹配中了几个红球
  * @return 中红球个数
  */
  private static int countMatchingBalls(Set<Integer> userBalls, Set<Integer> winningBalls) {
    int count = 0;
    for (int ball : userBalls) {
      if (winningBalls.contains(ball)) {
        count++;
      }
    }
    return count;
  }
}

结论：排除其它因素，头奖概率约 1700 万分之 1，这个结论并不直观，例举如下几个进行对比

1. 一家祖孙三代人的生日都在同一天的概率约为 27 万分之一

2. 小行星撞击地球的概率保守推测是 200 万分之一

3. 生出全男或全女四胞胎的概率约为 352 万分之一

悖论 3：三个枪手

描述：三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用枪进行一次决斗。A 的命中率是 30％，B 比他好些，命中率是 50％，最出色的枪手是 C，他从不失误，命中率是 100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：A 先开枪，B 第二，C 最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么 A 第一枪应该怎么打？谁活下来的概率最大？

论证：每个人的目标都是活下来，为了目标寻找最好的策略。以下开始分人讨论

A：

• 若 A 开枪射杀了 B，则下个开枪是 C，C 会 100% 射杀 A，这不是一个好策略
• 若 A 开枪射杀了 C，则下一轮 B 会有 50% 的几率杀掉自己
• 若 A 开枪未打中，则下一轮可以坐山观虎斗，所以 A 最好的策略看似是故意打空枪更好一些

B：

• 若 A 已经将 C 射杀，此时 B 与 A 互相射击，B 的生存率高于 A
• B 只能选择射杀 C，因为只要 C 活着，都会优先射杀 B

C：

• 先消除威胁大的 B，然后再杀掉 A，只要自己有开 2 枪的机会，直接获胜

结论：需求太复杂，暂未实现生存概率计算??，欢迎补充悖论 3 的代码论证过程

作者：京东保险王苑沣

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